벡터공간에 대해서 알아보자 (벡터, 벡터공간, 선형방정식)

지난 시간에는 선형대수를 왜 배워야하는지, 또 무엇을 배우는지를 살펴봤습니다. 그리고 벡터와 스칼라에 대해 잠시 다뤘는데요. 오늘은 벡터에 대해 다시 알아보고, 벡터들이 이루는 공간인 벡터공간에 대해 알아보겠습니다.

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벡터 (Vector)

지난 시간에 설명했듯이, 벡터는 크기와 방향을 가진 성분입니다. 따라서 다음과 같이 좌표계에 화살표를 이용해 나타낼 수 있습니다.

하지만 4 차원, 5 차원 이상의 벡터를 좌표계에 표시하기는 불가능합니다. 또한 벡터를 화살표로 나타낼 수 있다 해도, 늘 이렇게 표현하기는 불편하죠. 따라서 숫자의 나열로도 나타낼 수 있습니다. 행벡터와 열벡터로 나타낼 수 있지만, 주로 벡터라고 하면 열벡터를 의미합니다.

벡터공간 (Vector Space)

지난 시간에 선형대수는 벡터공간을 공부하는 학문이라고 했습니다. 그렇다면 벡터공간은 도대체 무엇일까요? 쉽게 생각하면 벡터들이 모여서 이루고 있는 공간입니다. 하지만 벡터들이 모여 있다고 해서 모두다 벡터공간인 것은 아닙니다. 벡터공간에 속해있는 벡터들은 모두 특정한 조건을 만족해야 하며 공통적인 성질을 띄고 있습니다. 벡터공간에 대해서는 선형대수를 공부하는 내내 공부하게 될 것입니다. 여기서는 간단하게만 알아봅시다.

벡터공간의 예제

우선 백테공간의 예를 들어보도록 합시다.

• 3 차원 실수 공간

위의 예제는 3 차원 상의 모든 점들을 나타내는 벡터 공간입니다. 3 차원 뿐만이 아니라 4, 5, ..., n 차원의 실수 공간 또한 벡터 공간입니다.

• n 차원 실수 공간

실수 전체 공간이 아니더라도 벡터공간이 될 수 있습니다. 아래의 예를 봅시다.

• 선형방정식

위의 방정식을 만족시키는 모든 x, y, z 를 만족시키는 실수들은 모두 벡터공간을 이루고 있습니다.

그런데 결국 위의 방정식을 만족시키는 x, y, z 는 위 방정식의 해(근)집합입니다. 그렇다면, 벡터공간은 모든 선형방정식의 해집합과 같을까요? 그렇지는 않습니다.

선형방정식

우리는 아래의 꼴을 가지고 있는 수식을 선형방정식(1 차 연립방정식)이라 합니다.

즉, 선형 방정식은 스칼라(a)와 벡터(x)의 곱으로 이루어져 있습니다. 여기서 우리가 구하고자 하는 것은 x 이며 (a 는 주어져 있습니다.) 이 식을 만족시키는 x 를 찾는 것이 우리의 목적입니다.

우리는 위의 방정식을 만족시키는 x 가 과연 벡터공간을 이루는지가 궁금한 것입니다. x 가 벡터공간을 만족시키면 우리는 벡터공간의 성질들을 이용해서 많은 것들을 할 수 있고, 또 알 수 있습니다.

그럼 다시 위의 식을 살펴봅시다. 위의 식을 만족시키는 모든 x 가 벡터공간을 이루는 것은 아닙니다. 그렇다면 어떤 경우에 벡터공간을 이루지 못할까요?

바로 b 가 0 이 아닌 경우입니다. b 가 0 이 아니란 것은 위의 선형 방정식이 원점을 지나지 않는다는 의미입니다. 나중에 자세히 설명하겠지만, b 가 0 이 아닌 경우는 결국 b 가 0 인 동차 선형 방정식을 평행 이동한 것에 불과합니다.

하지만 b 가 0 이라고 해서 모두 벡터공간인 것은 아닙니다. 즉, b 가 0 인 것은 벡터공간이 되기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아닙니다. 벡터공간이 되기 위한 충분조건들은 다음에 차차 다루도록 하겠습니다.